1823. Find the Winner of the Circular Game 找出游戏的获胜者

作者： 负雪明烛 id： fuxuemingzhu 个人博客： http://fuxuemingzhu.cn/ 关键词：力扣，LeetCode，题解，清晰讲解，算法，约瑟夫环，Python，Java，C++

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@TOC

题目地址：https://leetcode-cn.com/problems/find-the-winner-of-the-circular-game/

题目描述

共有 n 名小伙伴一起做游戏。小伙伴们围成一圈，按 顺时针顺序 从 1 到 n 编号。确切地说，从第 i 名小伙伴顺时针移动一位会到达第 (i+1) 名小伙伴的位置，其中 1 <= i < n ，从第 n 名小伙伴顺时针移动一位会回到第 1 名小伙伴的位置。

游戏遵循如下规则：

1. 从第 1 名小伙伴所在位置 开始 。
2. 沿着顺时针方向数 k 名小伙伴，计数时需要 包含 起始时的那位小伙伴。逐个绕圈进行计数，一些小伙伴可能会被数过不止一次。
3. 你数到的最后一名小伙伴需要离开圈子，并视作输掉游戏。
4. 如果圈子中仍然有不止一名小伙伴，从刚刚输掉的小伙伴的 顺时针下一位 小伙伴 开始，回到步骤 2 继续执行。
5. 否则，圈子中最后一名小伙伴赢得游戏。 给你参与游戏的小伙伴总数 n ，和一个整数 k ，返回游戏的获胜者。

示例 1：

输入：n = 5, k = 2
输出：3
解释：游戏运行步骤如下：
1) 从小伙伴 1 开始。
2) 顺时针数 2 名小伙伴，也就是小伙伴 1 和 2 。
3) 小伙伴 2 离开圈子。下一次从小伙伴 3 开始。
4) 顺时针数 2 名小伙伴，也就是小伙伴 3 和 4 。
5) 小伙伴 4 离开圈子。下一次从小伙伴 5 开始。
6) 顺时针数 2 名小伙伴，也就是小伙伴 5 和 1 。
7) 小伙伴 1 离开圈子。下一次从小伙伴 3 开始。
8) 顺时针数 2 名小伙伴，也就是小伙伴 3 和 5 。
9) 小伙伴 5 离开圈子。只剩下小伙伴 3 。所以小伙伴 3 是游戏的获胜者。

示例 2：

输入：n = 6, k = 5
输出：1
解释：小伙伴离开圈子的顺序：5、4、6、2、3 。小伙伴 1 是游戏的获胜者。

提示：

• 1 <= k <= n <= 500

题目大意

$n$ 个人围成一个圈，每次数 $k$ 个数，被数到的那个人出局。问：圆圈中剩下的最后的一个人的标号。

这是经典的「约瑟夫环」问题。

本文是我 @负雪明烛 于 2020-03-31 创作的《这或许是你能找到的最详细约瑟夫环数学推导！》。

由于文章是之前写的，因此下文中变量和本题目有不对应，但不影响理解：

• 下文中的 $m$ 就是题目中的 $k$；
• 下文中是从 $0$ 编号的，题目是从 $1$ 编号的，因此代码里面最后的返回结果需要 $+1$.

解题方法

问题描述

约瑟夫环问题是这样的：

$0,1,\dots ,n-1$ 这 $n$ 个数字排成一个圆圈，从数字 $0$ 开始，每次从这个圆圈里删除第 $m$ 个数字。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。

例如，$0、1、2、3、4$ 这 5 个数字组成一个圆圈，从数字 0 开始每次删除第 3 个数字，则删除的前 4 个数字依次是 $2、0、4、1$，因此最后剩下的数字是 $3$。

如下图所示。

根据上图中的箭头，我们可以看到每一轮中移走的是第 $m$ 个数字（因为数组下标是从 $0$ 开始，所以被移走的数字下标为 $m-1$）。 所以每一轮的第 $m+1$ 个数字（下标为 $m$），将成为下一轮的开头元素（下标变成 $0$)。

解法

解决约瑟夫环问题，我们采用倒推，我们倒推出：最后剩下的这个数字，在最开始的数组中的位置。

1. 剩下最后一个数字（简称“它”）的时候，总个数为 $1$，它的下标 $pos=0$。
2. 那么它在上一轮也是安全的，总个数为 $2$，它的下标 $pos=(0+m)\%2$； （解释：在上一轮中，它前面的数字（即红色的数字，下标为 $m-1$）被移走了；因此它的下标是 $m$；由于是环，因此需要 $\%2$）
3. 那么它在上上轮也是安全的，总个数为 $3$，它的下标 $pos=((0+m)\%2+m)\%3$；
4. 那么它在上上上轮也是安全的，总个数为 $4$，它的下标 $pos=(((0+m)\%2+m)\%3+m)\%4$；
5. ...
6. 那么它在游戏开始的第一轮也是安全的，总个数为 $n$，它的下标 $pos$ 就是所求。

即如果从下向上反推的时候：假如它下一轮的下标为 $pos$，那么当前轮次的下标就是： $(pos+m)\%$ 当前轮次的人数。

最后，由于给出的数字是 $nums=0,1,2,..,n-1$，即 $nums[i]=i$，因此找出下标 $pos$ 就相当于找到这个数字。

大部分解法解到这里就结束了，缺乏递推公式的数学证明，现就数学推导说明如下。

数学推导

定义：

1. 约瑟夫环操作：把一些数字排成一个圆圈，从数字 $0$ 开始，每次从这个圆圈里删除第 $m$ 个数字，直到最后只剩一个数字。
2. 函数 $f(n,m)$ ：表示对 $n$ 个数字 $0,1,\dots ,n-1$ 做约瑟夫环操作，最后剩下的这个数字。（这个定义特别重要，理解之后才向下看）

下面开始推导。

整体思路：

整体思路如下。看不懂没问题，后文有详细说明：

1. 在以 $0$ 为起始的、长度为 $n$ 的序列上做约瑟夫环操作的最终结果 $f(n,m)=$
2. 在完成上轮操作删除数字 $k$ 之后的新序列上的约瑟夫环操作的最终结果 $h(n-1,m)=$
3. 将新序列映射成以 $0$ 为起始的长度为 $n-1$ 的序列上的约瑟夫环操作的最终结果 $f(n-1,m)$ 的逆映射。

注意，每次操作后得到的新序列，数字的排列是有变化的：

• 在 $0,1,\dots ,n-1$ 这 $n$ 个数字中，第一个被删除的数字是 $(m-1)\%n$。为了简单起见，我们把 $(m-1)\%n$ 记为 $k$。
• 那么删除 $k$ 之后剩下的 $n-1$ 个数字为 $0,1,\dots ,k-1,k+1,\dots ,n-1$，并且下一次删除时要从 $k+1$ 开始计数。
• 相当于在剩下的序列中， $k+1$ 排在最前面，所以第二次操作的序列是 $k+1,\dots ,n-1,0,1,\dots ,k-1$。

1. 定义新序列上函数

我们希望在这个新序列上再完成约瑟夫环操作，最后剩下的数字应该是关于 $n$ 和 $m$ 的函数，即也可以用 $f(n,m)$ 进行表示。

但由于现在的这个序列的排列（从 $k+1$ 开始）和最初的序列（从 0 开始）不一样。

因此这个时候的函数已经不同于最初的函数，我们记为 $h(n-1,m)$，此函数的定义：在 $k+1,\dots ,n-1,0,1,\dots ,k-1$ 这 $n-1$个数字的序列上做约瑟夫环操作，最后剩下的这个数字。

2. 求解新函数

由于 在最初序列上 和 在新序列上 完成约瑟夫操作剩下的数字均为同一个数字，所以有

$$f(n,m)=h(n-1,m)$$

下面的工作就是求解新函数 $h(n-1,m)$ ，使其能够用 $f(n-1,m)$ 表示出来。

由于 $f(n-1,m)$ 是定义在以 $0$ 为开始的序列上的，所以我们把剩下的这 $n-1$ 个数字的序列 $k+1,\dots ,n-1,0,1,\dots ,k-1$ 进行映射，映射到结果是形成一个 $0,..,n-2$ 的序列。

• $k+1\to 0$$k+2\to 1$$...$$n-1\to n-k-2$$0\to n-k-1$$1\to n-k$$...$$k-1\to n-2$

接下来的内容很重要：

• 该映射函数是个一元一次函数，定义为 $p(x)$，可以求出 $p(x)=(x+n-k-1)\%n$。（还记得初中的 $y=x+a$ 怎么求么？如果不会，去看 附录 $1$）
• 从左到右的映射是 $p(x)$，从右到左的映射叫做逆映射 $p^{-1}(x)=(x+k+1)\%n$。（该逆映射的求法见本章结尾 附录 $2$）
• 由于映射之后的序列和最初的序列有同样的形式，即都是从 $0$ 开始的连续序列，因此在映射之后的序列上做约瑟夫环操作的结果仍可以用函数 $f$ 表示，即为 $f(n-1,m)$。

在映射之前的序列上的约瑟夫环操作的结果是 $h(n-1,m)$，在映射之后的序列上的约瑟夫环操作的结果是 $f(n-1,m)$，所以：

$$f(n-1,m)=p(h(n-1,m))$$

所以有：

$$h(n-1,m)=p^{-1}(x)(f(n-1,m))=[f(n-1,m)+k+1]\%n$$

把 $k=(m-1)\%n$ 代入得到：（$k$ 中有取余运算，为什么代入之后没有了？见本章结尾 附录 $3$）

$$f(n,m)=h(n-1,m)=[f(n-1,m)+m]\%n$$

终于，经过复杂的分析，我们找到了一个只包含有 $f$ 函数的递推公式。

• 要得到 $n$ 个数字的序列中完成约瑟夫环操作最后剩下的数字的下标，只需要得到 $n-1$ 个数字的序列中最后剩下的数字的下标。并以此类推。（像不像递归？）
• 当 $n=1$ 时，也就是序列中只有 $1$ 个数字（下标为 $0$），那么完成约瑟夫操作最后剩下的数字的下标就是 $0$。（像不像递归终止条件？）

我们把这种关系表示为：

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}0& n=1\\ \left[f(n-1,m)+m\right]\%n& n>1\end{array}$$

这个公式无论是递归还是循环都很好实现。

至此，主要的数学推导过程已经结束。下面是附录。

附录 1. $p(x)$ 的推导

公式 $p(x)=(x+n-k-1)\%n$ 中的 $\%$ 号是怎么得到的？

其实是个分段函数归纳的。

$p(x)=\{\begin{array}{ll}x-k-1& k+1\le x\le n-1\\ x+n-k-1& 0\le x\le k-1\end{array}$

所以，为了把分段函数统一，使用 $p(x)=(x+n-k-1)\%n$。

附录 2. $p^{-1}(x)$ 的推导

已知 $p(x)=(x+n-k-1)\%n$，求 $p^{-1}(x)$。

$$p(x)=(x+n-k-1)\%n=(x+n-k-1)+(T-1)n=x-k-1+Tn$$

其中引入的正整数 $T$ 的取值方法：取合适的 $T$ 以保证 $0<=p(x)<=n$。（这一步不懂的可以用 $p(0)=n-k-1$ 代入，此时 $x=0,T=1$）

可以得到$x=p(x)+k+1-Tn$，逆函数就是把 $x$ 替换成 $p(x)$，把 $p(x)$ 替换成 $x$。

所以逆函数 $p^{-1}(x)=x+k+1-Tn=(x+k+1)\%n$。

附录 3. 消除括号里的模运算

模运算的四则规则：$(a+b)\%p=(a\%p+b\%p)\%p$，选自百度百科。

我们需要证明：

$$[f(n-1,m)+(m-1)\%n+1]\%n=[f(n-1,m)+m]\%n$$

证明方法：

• 左边 $=[f(n-1,m)+(m-1)\%n+1]\%n$$=[(f(n-1,m)+1)\%n+(m-1)\%n]\%n$（解释：由于$0<映射后的取值f(n-1,m)<n-2$，所以$1<f(n-1,m)+1<n-1$，所以可以添加第一个取余运算。） $=[(f(n-1,m)+1)+(m-1)]\%n$ ，运用四则运算公式 $=[f(n-1,m)+m]\%n$$=$ 右边

得证。

代码

代码思路：

• $pos=0$ 开始，代表了最后结果只剩下了 $1$ 个数字，这个数字处于下标为 $0$ 的位置。
• 循环从数组有两个 $2$ 元素开始。
• 当数组中剩下 $n$ 个人结束，即到达了题目要求的那么多数字，此时的 $pos$ 就是最后剩下的那个数字的在 $n$ 个数字的下标。

由于，我上文的分析中，是从 $0$ 开始编号的，题目是从 $1$ 开始编号的，因此返回值是 $pos+1$。

Python 语言的代码如下：

class Solution(object):
    def findTheWinner(self, n, k):
        pos = 0
        for i in range(2, n + 1):
            pos = (pos + k) % i
        return pos + 1

C++ 语言的代码如下：

class Solution {
public:
    int findTheWinner(int n, int k) {
        int pos = 0;
        for (int i = 2; i < n + 1; ++i) {
            pos = (pos + k) % i;
        }
        return pos + 1;
    }
};

Java 语言的代码如下：

class Solution {
    public int findTheWinner(int n, int k) {
        int pos = 0;
        for (int i = 2; i < n + 1; ++i) {
            pos = (pos + k) % i;
        }
        return pos + 1;
    }
}

复杂度

• 时间复杂度：$O(N)$
• 空间复杂度：$O(1)$

参考文献

1. 《剑指Offer》，本数学推导基于《剑指Offer》中的推导进行了更详细的讲解。
2. 力扣（LeetCode）链接：https://leetcode-cn.com/problems/yuan-quan-zhong-zui-hou-sheng-xia-de-shu-zi-lcof
3. https://leetcode-cn.com/problems/yuan-quan-zhong-zui-hou-sheng-xia-de-shu-zi-lcof/solution/javajie-jue-yue-se-fu-huan-wen-ti-gao-su-ni-wei-sh/

总结

1. 本文的证明非常非常详细，核心问题在于映射。
2. 有些笔试题中可能会考这个代码。
3. 记得给本题解点个赞 👍🏻 哦！

日期

2022 年 5 月 4 日—— 青年节！！