• 作者： 负雪明烛
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• 公众号：负雪明烛
• 本文关键词：算法题，刷题，Leetcode, 力扣，二叉搜索树，BST，第 k 小的元素，Python, C++, Java

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@TOC

题目地址：https://leetcode.com/problems/kth-smallest-element-in-a-bst/#/description

题目描述

Given a binary search tree, write a function kthSmallest to find the kth smallest element in it.

Note:

• You may assume k is always valid, 1 ≤ k ≤ BST's total elements.

Example 1:

Input: root = [3,1,4,null,2], k = 1
   3
  / \
 1   4
  \
   2
Output: 1

Example 2:

Input: root = [5,3,6,2,4,null,null,1], k = 3
       5
      / \
     3   6
    / \
   2   4
  /
 1
Output: 3

Follow up:

• What if the BST is modified (insert/delete operations) often and you need to find the kth smallest frequently? How would you optimize the kthSmallest routine?

题目大意

找出一个BST中第K小的数字是多少。

解题方法

各位题友大家好！ 我是负雪明烛。

今天题目重点只有一个：二叉搜索树（BST）。

遇到二叉搜索树，立刻想到这句话： ​

「二叉搜索树（BST）的中序遍历是有序的」。

​

这是解决所有二叉搜索树问题的关键。

题目要求 BST 中第 k 小的元素，等价于求 BST 中序遍历的第 k 个元素。

分享二叉树遍历的模板：先序、中序、后序遍历方式的区别在于把「执行操作」放在两个递归函数的位置。 ​

伪代码在下面。

1. 先序遍历：

def dfs(root):
    if not root:
        return
    执行操作
    dfs(root.left)
    dfs(root.right)

2. 中序遍历：

def dfs(root):
    if not root:
        return
    dfs(root.left)
    执行操作
    dfs(root.right)

3. 后序遍历：

def dfs(root):
    if not root:
        return
    dfs(root.left)
    dfs(root.right)
	执行操作

本题是使用了中序遍历，所以把「执行操作」这一步改成自己想要的代码。

于是有了下面两种写法。

方法一：数组保存中序遍历结果

这个方法是最直观的，也最不容易出错的。

1. 先中序遍历，把结果放在数组中；
2. 最后返回数组的第 k 个元素。

对应的代码如下，二叉树的各种遍历方式是基本功，务必要掌握。 ​

Java 代码如下： ​

public class Solution {
    List<Integer> list;
    public int kthSmallest(TreeNode root, int k) {
        list = new ArrayList<Integer>();
        dfs(root);
        return list.get(k - 1);
    }
    public void dfs(TreeNode root){
        if(root == null){
            return;
        }
        dfs(root.left);
        list.add(root.val);
        dfs(root.right);
    }
}

C++ 代码如下：

class Solution {
public:
    int kthSmallest(TreeNode* root, int k) {
        vector<int> res;
        dfs(root, res);
        return res[k - 1];
    }
    void dfs(TreeNode* root, vector<int>& res) {
        if (!root) return;
        dfs(root->left, res);
        res.push_back(root->val);
        dfs(root->right, res);
    }
};

Python 语言如下：

class Solution(object):
    def kthSmallest(self, root, k):
        res = []
        self.dfs(root, res)
        return res[k - 1]
    
    def dfs(self, root, res):
        if not root: return
        self.dfs(root.left, res)
        res.append(root.val)
        self.dfs(root.right, res)

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(N)$，因为每个节点只访问了一次；
• 空间复杂度：$O(N)$，因为需要数组保存二叉树的每个节点值。

方法二：只保存第 k 个节点

在方法一中，我们保存了整个中序遍历数组，比较浪费空间。

其实我们只需要知道，在中序遍历的时候，第 k 个被访问的节点即可。访问到第 k 个节点后，递归终止，后面的节点就不用访问了。 ​

下图展示了中序遍历过程中的节点访问顺序。

具体的做法中，我们需要需要两个变量：

1. 用一个全局变量保存最终的结果；
2. 用一个全局变量保存当前访问到第几个节点。

​

如果不使用全局变量，而是使用函数传参，需要注意「值传递」和「引用传递」的区别：

值传递：每个递归的内部都需要对同一个变量修改，如果用普通函数的传参，对于 int 型的参数，使用的是值传递，即拷贝了一份传到了函数里面。那么函数里面对 int 型的修改不会影响外边的变量。

使用全局变量，可以保证递归函数的每次修改都是反映到全局的，从而保证遍历到第 k 个的时候，所有的递归立刻停止。 ​

Java 代码如下：

public class Solution {
    int res;
    int count;
    
    public int kthSmallest(TreeNode root, int k) {
        res = 0;
        count = k;
        dfs(root);
        return res;
    }
    public void dfs(TreeNode root){
        if(root == null){
            return;
        }
        dfs(root.left);
        count--;
        if(count == 0){
            res = root.val;
            return;
        }
        dfs(root.right);
    }
}

C++ 代码如下：

class Solution {
public:
    int kthSmallest(TreeNode* root, int k) {
        count = k;
        dfs(root);
        return res;
    }
    void dfs(TreeNode* root) {
        if (!root) return;
        dfs(root->left);
        count -= 1;
        if (count == 0) {
            res = root->val;
            return;
        }
        dfs(root->right);
    }
private:
    int res;
    int count;
};

Python 代码如下：

class Solution(object):
    def kthSmallest(self, root, k):
        self.res = 0
        self.count = k
        self.dfs(root)
        return self.res
    
    def dfs(self, root):
        if not root: return
        self.dfs(root.left)
        self.count -= 1
        if self.count == 0:
            self.res = root.val
            return
        self.dfs(root.right)

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(k)$，因为只访问了前 $k$ 个节点；
• 空间复杂度：$O(h)$，其中 $h$ 为树的高度，因为递归用了系统栈，而栈的深度最多只有树的高度。

迭代

待补。

总结

1. 二叉树的多种遍历方式必须要掌握。
2. 一定切记：二叉搜索树的中序遍历是有序的。
3. 另外建议刚开始刷题的朋友，不妨从二叉树上手。

类似题目：

• ​783. 二叉搜索树节点最小距离

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